Máme 5 a 3 litrovú nádobu a neobmedzené množstvo vody.
Ako pomocou týchto nádob zmeriame presne 4 litre?
Naplníme 5-litrovú nádobu a prelejeme vodu do 3-litrovej nádoby, ktorú potom vylejeme. Z 5-litrovej nádoby prelejeme zostávajúce 2 litre do 3-litrovej nádoby. Znovu naplníme 5-litrovú nádobu a dolejeme z nej do 3-litrovej nádoby 1-liter, takže v 5-litrovej nádobe nám zostanú potrebné 4 litre vody.
Ako naberiete 6 litrov vody, ak máte iba 4 a 9-litrovú nádobu.
Najprv naberiete vodu do 9-litrovej nádoby. Potom prelejete vodu do 4-litrovej nádoby (v 9-litrovej nádobe vám zostáva 5 litrov vody) a vodu zo 4 litrovej nádoby vylejete. Znovu prelejete vodu z 9-litrovej do 4-litrovej (v 9-litrovej vám zostáva už len liter) a opäť 4-litrovú vylejete. Potom prelejete ten jeden liter z 9-litrovej do 4-litrovej, ale teraz 4-litrovú nádobu nevylievate. Naplňte znovu 9-litrovú nádobu. A už stačí doliať 4-litrovú nádobu a v 9-litrovej vám zostane 6 litrov.
Zmerajte presne 2 litre vody ak máte:
1. 4-litrovú a 5-litrovú nádobu
2. 4-litrovú a 3-litrovú nádobu
1. Naplňte 5-litrovú nádobu, nalejte z nej do 4-litrovej a tú vyprázdnite. Prelejte zostávajúci liter do 4-litrovej. Znovu naplňte 5-litrovú nádobu a prelejte z nej vodu do 4-litrovej nádoby (kde už je 1 liter) po okraj. A tak v 5-litrovej zostanú 2 litre.
2. Podobný princíp – tentokrát z opačného konca. Naplňte 3-litrovú nádobu, nalejte z nej do 4-litrovej. Znovu naplňte 3-litrovú, nalejte z nej do 4-litrovej a dva litre zostanú.
Máte 3 nádoby. V nádobe A, ktorá je 8 litrová, je 5 litrov vody. V nádobe B, ktorá je 5 litrová, sú 3 litre vody. V nádobe C, ktorá je 3 litrová, sú 2 litre vody.
Dokážete namerať v niektorej nádobe liter vody, ak budete prelievať len 2-krát?
1. prelievanie - z nádoby A dolejeme jeden liter do nádoby C. Týmto v nádobe A zostali práve 4 litre a nádoba C je plná (obsahuje 3 litre).
2. prelievanie - z nádoby C odlejeme 2 litre do nádoby B. Teraz je nádoba B plná (obsahuje 5 litrov), a v nádobe C zostal práve jeden liter.
Máte 10 vrecúšok plných mincí, v každom vrecúšku je 1000 mincí. V jednom vrecúšku sú všetky mince falošné. Pravá minca váži 1 gram, falošná 1,1 gramu.
Ako zistíte jedným vážením na presných váhach, v ktorom vrecúšku sú falošné mince? A ak by ste nevedeli koľko je vrecúšok s falošnými mincami?
Ak iba 1 zlé vrece: Vezme sa jedna minca z prvého vrecúška, dve z druhého, tri z tretieho, ... desať z desiateho, zváží sa to a zistí sa, o koľko gramov je to ťažšie, než by malo byť za ideálneho stavu. A počet gramov udává poradie vrecúška s falošnými mincami.
Viac zlých vriec: Tak tu je veľa možných riešení. Napríklad 1, 2, 4, 10, 20, 50, 100, 200, 500, 1000.
Predpokladajme, že gumové medvedíky sú 10 gramov ľahké, zatiaľ čo ich nepodarené imitácie vážia iba 9 gramov. V 7 kartónoch sú 4 kartóny s pravými medvedíkmi.
Na presných váhach zistite iba jedným vážením a použitím minimálneho počtu medvedíkov, v ktorých kartónoch sú falošné medvedíky.
Stačí použiť 51 gumových medvedíkov. Z kartónov sa postupne vyberie 0 (z prvého kartónu sa nevyberie nič), 1, 2, 4, 7, 13 a 24 medvedíkov (z posledného siedmeho kartónu). Cieľom bolo zvoliť unikátne trojice skupín aby sa dali jednoducho identifikovať tie 3 kartóny s imitáciami. Táto vybraná skupina 51 medvedíkov by mala vážiť s pravými medvedíkmi 510 gramov. Ale keďže sú medzi nimi aj nepodarky, hmotnosť, ktorá bude chýbať do 510 udáva číslo, ktoré može byť vytvorené iba jednou trojicou skupiniek (z týchto skupiniek: 0, 1, 2, 4, 7, 13, 24). Napríklad ak by na váhe vážilo vybraných 51 medvedíkov 488 gramov, tzn. na váhe je 22 imitácií (510 – 488 = 22). A jediné tri skupinky, v ktorých je 22 nepodarkov sú tretia (2 medvedíky), piata (7 medvedíkov) a šiesta skupinka (13 medvedíkov).
Podobne ako pri predchádzajúcej úlohe - iba o krok ďalej. Majme 8 vrecúšok, v každom je 48 mincí. 5 vrecúšok obsahuje iba pravé mince (vážiace 10 gramov), ostatné obsahujú iba falošné mince (vážiace 9 gramov). Falošné mince sú o 1 gram ľahšie než pravé mince. Samozrejme vrecúška sa na prvý pohľad nedajú odlíšiť.
Na presných váhach zistite iba jedným vážením a použitím minimálneho počtu mincí, v ktorých vrecúškach sú falošné mince.
Podobne ako pri predchádzajúcej úlohe.
Postupne vyberiem z vrecúšok 0 (z prvého vrecúška nevyberiem žiadnu mincu), 1 (z druhého vrecúška 1 mincu atď.), 2, 4, 7, 13, 24, 44 mincí (z posledného ôsmeho vrecúška). Každá trojica je unikátna a tak je možné identifikovať falošné mince a vrecúška (spolu sa teda použilo 95 mincí).
Jedna z dvanástich biliardových gúľ je trošičku ľahšia alebo ťažšia (to sa nevie) než ostatné.
Najmenej koľko vážení stačí na identifikovanie tejto gule (aj či je ťažšia alebo ľahšia) použitím rovnoramenných váh?
Stačia tri váženia. Označme si gule číslami 1 až 12. Okrem toho doplním čísla týmito značkami:
x? znamená, že o guli s číslom x ešte nič neviem;
x< znamená, že guľa je možno ľahšia než ostatné;
x> že je možno ťažšia;
x. že je určite „normálna“.
Najprv dám na ľavú misku váh gule 1? 2? 3? a 4? a na pravú 5? 6? 7? a 8?.
Ak sú misky v rovnováhe, potom viem, že hľadaná guľa je jedna z 9-12. Na ľavú misku dám 1. 2. 3. a na pravú 9? 10? 11?.
Ak sú misky znovu v rovnováhe, viem, že hľadaná guľa je tá s číslom 12, a pri poslednom zvážení (napr. s guľou 1.) zistím, či je ľahšia, alebo ťažšia.
Ak je ľavá miska ťažšia, viem, že 12 je normálna a 9< 10< 11<. Zvážím 9< a 10<.
Ak sú v rovnováhe, potom guľa 11 je ľahšia než všetky ostatné.
Ak nie sú v rovnováhe, je z 9 a 10 ľahšia tá, ktorá bola hore.
Ak je ťažšia pravá, potom 9> 10> a 11> a postupuje sa podobne ako v predchádzajúcom bode (viem, že hľadaná guľa bude ťažšia než ostatné).
Ak je ľavá miska ťažšia, viem, že 1> 2> 3> 4>, 5< 6< 7< 8< a 9. 10. 11. 12. Teraz dám na ľavú misku 1> 2> 3> 5< a na pravú 4> 9. 10. 11.
Ak sú misky v rovnováhe, podozrivými guľami zostávajú 6< 7< a 8<. Rozhodne sa o nich rovnako ako v prípade gulí 9< 10< 11< z prostredného bodu predchádzajúcej časti.
Ak je ľavá miska ľahšia, podozrivé sú už len 5< a 4>. Zvážím napr. 1. a 4>. Ak sú misky v rovnováhe, guľa 5 je ľahšia než všetky ostatné, inak musí byť 4 dole, a je teda ťažšia.
Ak je ľavá miska tažšia, určite sú normálne všetky gule okrem 1> 2> a 3>. A hľadanie medzi tromi (rovnako podozrivými) guľami sme si už popísali.
Na vianočnom stromčeku viseli dve modré, dve červené a dve biele gule. Všetky vyzerali na vlas rovnako, ale v každom farebnom páre bola vždy jedna o niečo ťažšia než druhá. Všetky tri ľahšie vážili rovnako, takisto ako aj všetky tri ťažšie gule vážili rovnako.
Dokážete určiť, ktoré gule sú tie ťažšie, a ktoré ľahšie iba na dve váženia na rovnoramenných váhach?
Napríklad najprv položíme na jednu misku po jednej červenej a jednej bielej guli, na druhú bielu a jednu modrú. Ak je váha v rovnováhe, vieme, že na každej strane je jedna ťažšia a jedna ľahšia guľa, preto porovnáme napríklad tie biele. Potom už vieme všetko potrebné.
Ak však pri prvom vážení klesne jedna miska nižšie, musí na nej byť biele závažie ťažšie. Potom pri ďalšom vážení porovnáme napríklad červenú (už váženú) guľu a modrú (ešte neváženú) guľu. Z výsledku váženia si jednoducho môžete odvodiť povahu všetkých gúľ.
Máme 9 guličiek, rovnako veľkých, rovnako ťažkých. Iba jedna z nich je trošku ťažšia.
Ako ju vypátrame, ak môžeme iba dvakrát vážiť na rovnoramenných váhach?
Rozdelíme 9 guličiek na 3 skupiny po troch. 2 skupiny zvážime. Týmto krokom zistíme, v ktorej skupine je ťažšia gulička. Túto skupinu vezmeme a rozdelíme na 3 samostatné guličky. Dve vezmeme a zvážime. No a je to :-).
Máme 27 pingpongových loptičiek. Jedna je trocha ťažšia než ostatné.
Koľko treba vážení (minimálne) aby sme určili túto loptičku.
Na nájdenie ťažšej loptičky stačia 3 váženia.
27 loptičiek si rozdelíme na 3 skupiny po 9 loptičiek. 2 skupiny dáme na váhu. Ak je jedna z nich ťažšia ako druhá, obsahuje ťažšiu loptičku. Ak sú skupiny v rovnováhe, hľadaná loptička sa nachádza v tretej skupine, ktorú máme bokom. Týmto prvým vážením sme našli skupinu s 9 loptičkami, medzi ktorými sa určite nachádza ťažšia loptička.
9 loptičiek si rozdelíme na 3 skupiny po 3. 2 skupiny dáme na váhu a postup z predchádzajúceho váženia opakujeme. Ak je jedna z nich ťažšia ako druhá, obsahuje hľadanú loptičku. Ak sú skupiny v rovnováhe, hľadaná loptička sa nachádza v tretej skupine, ktorú máme bokom. Týmto druhým vážením sme našli skupinu s 3 loptičkami, medzi ktorými sa určite nachádza ťažšia loptička.
Zo zostávajúcich 3 loptičiek si 2 dáme na váhu a tretiu odložíme bokom. Ak je jedna z nich ťažšia ako druhá, našli sme danú loptičku. Ak sú skupiny v rovnováhe, ťažšia loptička je tá, ktorú máme bokom a týmto tretím vážením sme ju s určitosťou našli.
Na nájdenie ťažšej pingpongovej loptičky teda potrebujeme 3 váženia.
Aká je sada piatich závaží prostredníctvom ktorých možno odvážiť každý objekt vážiaci od 1 gramu po 121 gramov (interval = 1 gram), ak je možné dávať závažia na obe strany rovnoramenných váh?
Moje riešenie je nasledujúce: 1, 3, 9, 27, 81g. To je tých päť závaží.
Máte 2 presýpacie hodiny. Jedny sú sedemminútové a druhé štvorminútové.
Ako ich pomocou zmeriate presne 9 minút.
Obrátime obe hodiny. Po 4 minútach obrátime 4min hodiny. Keď sa dosypú 7min hodiny, otočíme tieto hodiny. Vtedy zostáva 1 minúta na 4min hodinách ktorá keď sa dosype, bude na 7min hodinách tiež 1 minúta odsypaná. Tie 7min hodiny teda potom stačí otočiť a danú 1 minútu odmerať ešte raz. A je to. 4+3+1+1
Učiteľ matematiky chcel netradičným spôsobom odmerať študentom čas na test v dĺžke 15 minút. Na odmeranie 15 minút použil len presýpacie hodiny, ktoré sa presypú presne za 7 minút a druhé presýpacie hodiny, ktoré sa presypú presne za 11 minút, pričom presýpacie hodiny obrátil za celý čas merania len 3-krát.
Vysvetlite, ako učiteľ odmeral 15 minút.
Učiteľ obrátil oboje hodiny naraz keď sa začal test. Keď sa presypali 7 minútové presýpacie hodiny (11 minútové presýpacie hodiny sa budú presýpať ešte 4 minúty) obrátil ich. Po presypaní 11 minútových hodín učiteľ ešte raz otočil 7 minútové hodiny. A je to – obracanie 7 minútových hodín.
Vašou úlohou je presne odmerať čas 45 minút, ak nemáte k dispozícií nič iné len dve zápalné šnúry a zápalky, ktorými šnúry môžete zapáliť. Zápalné šnúry, ktoré máte k dispozícií majú nasledujúce vlastnosti:
Zápalné šnúry sú spletené z rôznych materiálov, ktoré nehoria rovnakou rýchlosťou, takže začiatok šnúry môže horieť rýchlejšie, po chvíľke sa môže horenie spomaliť a následne opäť zrýchliť.
Každá zo šnúr horí od zapálenia jedného konca až po dohorenie na druhom konci šnúry presne jednu hodinu.
Zápalné šnúry sú také rozdielne, že ak začiatky oboch šnúr zapálite naraz, tak napr. po 10 minútach každá z nich horí v inej vzdialenosti od zapáleného začiatku.
Svoj spôsob merania 45 minút opíšte.
Zapálite súčasne oba konce jednej zápalnej šnúry a jeden koniec druhej zápalnej šnúry. V momente keď zápalná šnúra, ktorá mala zapálené oba konce dohorí (t.j. po 30 minútach - ak by bol zapálený jeden koniec horela by presne hodinu, ale keďže sme ju zapálili na oboch koncoch, dohorela po 30 minútach), zapálite druhý koniec na tej zápalnej šnúre, ktorá ešte horí (a ešte by mala horieť 30 minút), čím dosiahnete, že táto zápalná šnúra dohorí o 15 minút.
