Na tomto ostrove žijú ľudia dvoch druhov. Jedny sa nazývajú poctivci a hovoria vždy pravdu, a tí druhí, môžete trikrát hádať, tí sú podvodníci a vždy klamú. Na ich rozoznanie vám poslúži výroková logika
Na trhu sa hádajú traja obyvatelia A, B a C. Ide okolo nich cudzinec a opýta sa A: "Ste podvodník alebo poctivec?" A odpovie, ale nezrozumiteľne, takže cudzinec nerozumel, čo povedal. Preto sa opýta cudzinca B: "Čo povedal A?"
B odpovie: "A hovoril, že je podvodník." Na to tretí, C, povie: "Neverte B, ten klame!"
Čo sú B a C?
Na takomto ostrove nie je možné, aby niekto povedal: "Som klamár." Poctivec by týmto výrokom klamal a podvodník by hovoril pravdu. Takže B musel klamať, a je teda podvodník. A pretože C povedal, že B klame, je C poctivec. Čo je A sa nedá zistiť.
Trochu ďalej stretne cudzinec ďalších dvoch domorodcov. Prvý mu povie: "Som podvodník alebo ten druhý je poctivec."
Čo sú zač?
Logická disjunkcia "platí výrok P alebo Q" (zámerne nie je použitá vylučujúca disjunkcia "buď P, alebo Q") znamená, že aspoň jeden z výrokov (P, Q) je pravdivý (alebo obidva). Aby bol taký výrok nepravdivý, musia byť nepravdivé obidve jeho súčasti (P i Q).
Ak by bol teda A podvodník, potom je jeho výrok nepravdivý (teda nie je pravda, ani že A je podvodník, ani že B je poctivec), to je ale spor, a A teda musí byť poctivec. Potom ale musí byť pravdivá aspoň jedna časť jeho výroku. Tá prvá to zjavne nie je, potom je teda aj B poctivec.
Náš cudzinec sa dotieravými otázkami znepáčil panovníkovi ostrova, a ten ho odsúdil na smrť. Dal mu však veľkoryso možnosť zachrániť sa.
Ukázal mu dvoje dvere - jedny viedli na popravisko a druhé na slobodu (nedali sa rozpoznať) a iba strážcovia dverí vedeli, ktoré kam vedú. Panovník dovolil cudzincovi položiť jednému zo strážcov jednu otázku. A pretože panovník bol poctivec a k tomu aj spravodlivý, varoval odsúdeného, že medzi strážcami je práve jeden podvodník.
Akou otázkou si možno v tomto prípade zachrániť život?
Existuje viacero druhov otázok:
Opýtať sa sprostredkovane: "Hej ty, čo by mi odpovedal ten druhý, keby som sa ho opýtal, kam vedú tieto dvere?" Vždy dostáváme odpoveď negovanú.
Opýtať sa rafinovane: "Hej ty, stojí poctivec pri dverách ku slobode?" Odpoveď bude ÁNO, ak sa pýtam poctivca a on u nich stojí, alebo ak sa pýtam podvodníka a ten u nich zase stojí, môžem teda týmito dverami prejsť. Opačná odpoveď má podobnú dedukciu.
Opýtať sa zložito: "Hej ty, čo by si mi odpovedal, keby som sa ťa opýtal...?" Poctivec je jasný, ale podvodník by mal klamať, lenže je otázkou prinútený zaklamať dvakrát, a teda povie pravdu.
Náš cudzinec sa našťastie zachránil a na úteku stretol troch domorodcov. Prvý prehlásil: "Všetci sme podvodníci." Druhý dodá:
"Práve jeden z nás je poctivec."
Čo sú títo traja domorodci zač?
A (prvý) musí byť podvodník (ako poctivec by si odporoval), a teda (podľa klamstva A) medzi nimi musí byť poctivec. Ak je B (druhý) podvodník, potom podľa A je C poctivec, ale to by B hovoril pravdu. B je teda poctivec, a potom C musí byť podvodník.
V hostinci sa cudzinec bavil pri bare s ostrovanmi A a B. A mu hovorí: "Ak B je poctivec, potom ja som podvodník."
Čo sú A a B?
Tu treba skúmať pravdivosť alebo nepravdivosť celého zloženého výroku. Pravdivostná tabuľka každej implikácie (podmieneného výroku) napovie, že A nie je podvodník, pretože aby bol celý jeho výrok nepravdivý, musel by podvýrok "… potom ja som podvodník" byť nepravdivý, to je ale spor. Pretože A je teda poctivec, musí byť celý jeho výrok pravdivý.
Ak by B bol tiež poctivec, potom by musel byť pravdivý (viď tabuľka) i podvýrok "… potom ja som podvodník", to je ale spor. A je teda poctivec a B podvodník.
Keď chcel náš cudzinec zaplatiť a odísť z baru, barman mu povedal cenu nápoja, ktorý vypil. Zdalo sa mu to príliš veľa, a tak sa barmana opýtal, či hovorí pravdu. Jeho odpovedi však nerozumel. Ale druhý muž sediaci pri ňom odpovedal: "Barman povedal áno, ale je veľký klamár."
Kto sú?
Moje riešenie:
NEJEDNOZNAČNÉ: barman – klamár (poctivec), prísediaci – poctivec (klamár)
Teda jeden je klamár a druhý je poctivec (neviem však ktorý).
1. barman musel povedať: "Áno, hovorím pravdu." (nezáležiac na tom či klame alebo nie)
2. prísediaci muž povedal: "Barman povedal áno, ale je veľký klamár.", čo je pravda iba ak OBE časti tvrdenia sú pravdivé (viac o logickej konjunkcii http://en.wikipedia.org/wiki/Logical_conjunction)
2.1 ak je to pravda => prísediaci muž je poctivec a barman je klamár,
2.2 ak je to klamstvo => "je veľký klamár" je klamstvo – barman je poctivec a prísediaci muž je podvodník.
Náš cudzinec sa dozvedel, že by na ostrove mal byť zakopaný rozprávkový poklad. Vyhľadal preto domorodca a opýtal sa ho, či je na ostrove naozaj poklad. On odpovedal:
"Chachacha, na tomto ostrove je poklad, práve keď som poctivec."
Tak čo, je na ostrove poklad?
Treba skúmať pravdivosť/nepravdivosť celého zloženého výroku. Ak je cudzinec poctivec, potom celý jeho výrok musí byť pravdivý. Podvýrok, že je poctivec, pravdivý je, takže musí byť pravdivý i podvýrok, že na ostrove je poklad. Ak je však podvodník, musí byť celý výrok nepravdivý. Podvýrok, že je poctivec, je v tom prípade určite nepravdivý. Takže musí byť druhý podvýrok, že na ostrove je poklad, pravdivý. Poklad na ostrove teda je, bez ohľadu na povahu domorodca.
Pri tom všetkom premýšľaní zabudol náš cudzinec aký je vlastne deň, a tak sa opýtal štyroch ostrovanov. Dostal tieto odpovede:
A: "Včera bola streda."
B: "Zajtra bude nedeľa."
C: "Dnes je piatok."
D: "Predvčerom bol štvrtok."
Pretože všetko, čo potrebujete vedieť, je, koľko ľudí klamalo, tak to práve vedieť nemusíte.
Aký deň v týždni teda bol?
To najdôležitejšie bolo ukryté v závere (o tom, čo nemusíme vedieť). Teda klamalo toľko ľudí, aby sme mohli jednoznačne určiť aký je deň. Treba si taktiež uvedomiť, že B a D hovoria to isté. Ak by všetci klamali, boli by na výber 4 možné dni (to by ale nebolo jednoznačné).
Ak by pravdu hovoril iba jeden, mohol to byť A alebo C, teda 2 možné dni (to opäť nie je jednoznačné).
Ak by pravdu hovorili dvaja, museli by to byť B a D a bola by sobota (pretože A a C boli v spore).
3 alebo všetci 4 pravdu hovoriť nemohli, pretože by to bol jasný spor. Bola teda sobota.
Po namáhavom dni si cudzinec chcel odpočinúť pod stromom, po chvíli ho však vyrušili dvaja domorodci. Aby si ujasnil kto sú, opýtal sa jedného z nich: "Je medzi vami poctivec?" Po odpovedi mu to bolo jasné.
Čo je ten, ktorého sa opýtal – poctivec alebo podvodník? A ten druhý?
Ak by domorodec odpovedal "Áno.", cudzinec by sa nič nedozvedel. To znamená, že odpoveď musela byť "Nie.", a teda ten kto to povedal je klamár a ten druhý je poctivec.
Na ostrove poctivcov a podvodníkov žilo jedno dievča, ktoré chcel každý mať. Ale ona chcela iba bohatého podvodníka.
Ak by ste boli naozaj bohatý klamár, ako ju o tom presvedčíte jediným výrokom?
Dokázali by ste to aj keby chcela iba bohatého poctivca (a vy by ste ním naozaj boli)?
Predpokladajme, že existujú iba bohatí alebo chudobní obyvatelia ostrova.
"Som chudobný klamár." Poctivec to povedať nemôže, tzn. je to lož. A teda je bohatý klamár.
"Nie som chudobný poctivec." Klamár by to povedať nemohol, lebo by to bola pravda. A teda je poctivec, čo nie je chudobný, ale bohatý.
A teraz zopár prípadov zo súdnych siení ostrova poctivcov a klamárov. Obžalovanému povolili vysloviť na obhajobu len jediný výrok. Po chvíli povedal: "Zločin spáchal klamár."
Pomohol si alebo nie? Alebo to je jedno?
Áno, pomohlo mu to. Ak je poctivec, potom podľa jeho výroku vinníkom je klamár, a teda on sám je nevinný. Ak je klamár, potom podľa jeho výroku vinníkom je poctivec, a teda zase je nevinný.
Alebo je to bludný kruh?
Takto vyzeral rozhovor pravdovravných právnikov.
Žalobca: "Ak je obžalovaný vinný, potom mal spoločníka."
Obhajca: "To nie je pravda!"
Pomohol obhajca svojim výrokom klientovi?
Ak má byť celý žalobcov výrok nepravdivý, musí byť splnená podmienka implikácie a nesplnený jej dôsledok. Obhajca teda svojmu klientovi nepomohol, pretože z logického hľadiska povedal, že obžalovaný je vinný a dokonca nemal žiadneho spoločníka.
Vy tentokrát patríte medzi obyvateľov ostrova. Na ostrove bol spáchaný zločin a z nejakých dôvodov vzniklo podozrenie, že páchateľom ste vy. Postavia vás pred súd. Môžete urobiť vo svoj prospech iba jediné vyhlásenie. Je vo vašom záujme, aby ste presvedčili súd, že ste nevinný!
Dajme tomu, že ste klamár (súd to nevie) a že nie ste vinný. Je známe, že zločinec je klamár a vy smiete urobiť jediný výrok.
Rovnaká situácia, ale ste vinný. Ako presvedčíte súd, že ste nevinný.
Ste pocitvec (súd to nevie) a nie ste vinný. Je známe, že páchateľ je poctivec. (Na tom nie je nič čudné – nie každý zločinec musí byť aj klamár.) Aký je váš výrok?
Ste nevinný a o páchateľovi je známe, že nie je normálny. Normálni ľudia občas klamú a občas hovoria pravdu. Urobte výrok, ktorý nezávisí na tom, či ste poctivec, klamár alebo normálny a pritom presvedčí súd, že ste nevinný.
"Urobil som to – som vinný." Tzv. nepriamy dôkaz = dôkaz sporom (lat. reductio ad absurdum)
Neexistuje taký výrok.
"Som nevinný."
"Buď som poctivec a nevinný, alebo som klamár a vinný." = "Som buď nevinný poctivec, alebo vinný klamár." Uvažovanie súdu by bolo nasledovné:
Ak je poctivec, potom to je pravda a je nevinný poctivec.
Ak je klamár, potom to je lož a nie je ani nevinný poctivec ani vinný klamár, tzn. je nevinný klamár.
Ak je normálny, je nevinný lebo vinník nie je normálny.
Kedysi dávno žilo dievča s menom Pandora (nie tá slávna, iba jej menovkyňa). Nechcelo sa jej vydávať a tak si vymýšľala rôzne úlohy pre uchádzačov o jej ruku. A keďže sa volala ako sa volala, boli to úlohy so skrinkami. Tu je prvá z nich.
Na základe nápisov, z ktorých je najviac jeden pravdivý, určite, v ktorej skrinke je skrytý snubný prsteň.
Zlatá skrinka
Prsteň je v tejto skrinke.
Strieborná skrinka
Prsteň nie je v tejto skrinke.
Olovená skrinka
Prsteň nie je v zlatej skrinke.
Pri daných podmienkach môže byť iba nápis na olovenej skrinke pravdivý. Takže prsteň je v striebornej skrinke.
Pandora sa našťastie po prvej skúške nevydala, takže je tu možnosť pre Vás. Aspoň jeden z nápisov je pravdivý a minimálne jeden je nepravdivý. To znamená, že prsteň je jednoznačne v ...
Zlatá skrinka
Prsteň nie je v striebornej skrinke.
Strieborná skrinka
Prsteň nie je v tejto skrinke.
Olovená skrinka
Prsteň je v tejto skrinke.
Prsteň musí byť v zlatej skrinke, inak by boli všetky nápisy buď pravdivé, nebo nepravdivé.
Alenka stretla v Lese zabúdania Leva a Jednorožca. Sú to zvláštne stvorenia. Lev každý pondelok, utorok a stredu klame a ostatné dni v týždni hovorí pravdu. Jednorožec klame vždy vo štvrtok, v piatok a v sobotu, ale ostatné dni v týždni hovorí pravdu.
Lev: Včera som mal klamací deň.
Jednorožec: Ja tiež.
Ktorý bol práve deň?
Keďže neexistuje žiadny deň v týždni, kedy by obe zvieratá klamali, muselo aspoň jedno z nich povedať pravdu. Obaja hovoria pravdu iba v nedeľu, ale Lev by potom svojim tvrdenim zaklamal, a teda nemohla byť nedeľa. Takže jeden klamal a jeden hovoril pravdu.
Ak by hovoril pravdu Jednorožec, potom by musela byť nedeľa – to sme však na začiatku vylúčili. Pravdu mal teda Lev keď vo štvrtok stretol Alenku a spolu s Jednorožcom spomínal na stredu.
Lev prehlásil: Včera som klamal a popozajtra budem klamať zase.
Ktorý bol práve deň v týždni?
Aby bol výrok pravdivý, museli by byť pravdivé obe jeho časti, prvá časť je pravdivá vo štvrtok, ale druhá časť je vo štvrtok nepravdivá (nie je pravda, že by v nedeľu klamal). Celý výrok je teda nepravdivý, takže ho mohol povedať iba v niektorý klamací deň. K tomu, aby bol tento zložený výrok nepravdivý, stačí aby bola nepravdivá iba jedna časť tejto konjunkce. Keďže je každý klamací deň nepravdivá druhá časť, mohol Lev tento výrok vyhlásiť v pondelok, v utorok aj v stredu.
Na tomto ostrove žijú ľudia a zvláštne opice, ktoré sa nedajú odlíšiť od ľudí (dokonca aj plynule hovoria). Každá opica, ako aj každý človek, je buď poctivec alebo klamár.
A práve na takéto miesto sa dostal jeden cestovateľ a hneď na brehu zbadal dve zahalené postavy. Vypočul si nasledovné:
A: B je klamárska opica. Ja som človek.
B: A je poctivec.
Takže čo sú zač?
Konjunkcia, ktorú použil A, je pravdivá, ak oba podvýroky sú pravdivé, ale nepravdivá vo všetkých ostatných prípadoch. Predpokladajme, že B je poctivec. Potom by A bol poctivec (B to povedal), a tak B by bol klamár podľa A, čo je rozpor. Takže B je klamár. Podľa toho, čo vyhlásil B, je A tiež klamár. Prvý výrok A je teda nepravdivý a B nie je klamárska opica. Lenže B klamár je, a tak nie je opica. B je teda človek, ktorý klame. Z druhého výroku A vyplýva, že A je opica. A je teda klamárska opica.
V starej indickej veštiarni boli tri bohyne, ktoré odpovedali na otázky tak, že Pravda hovorila vždy pravdu, Lož klamala a Múdrosť tak všelijak. Rozpoznať sa dajú takto:
Najprv sa opýtame tej vľavo: "Ktorá bohyňa sedí vedľa teba?"
"Pravda," odpovedala.
Potom sa opýtame prostrednej: "Kto si?"
"Múdrosť."
A nakoniec otázka na pravú bohyňu: "Kto sedí vedľa teba?"
"Lož," odpovedala.
Teraz je už jasné, kto je kto.
Označme si bohyne písmenami A, B, C. Dostaneme tri vety.
1. A hovorí: B je Pravda.
2. B hovorí: Ja som Múdrosť.
3. C hovorí: B je Lož.
Prvá veta naznačuje, že A nie je Pravda. Druhá veta hovorí, že B nie je Pravda, a teda Pravda je C. Jej tvrdenie je pravdivé. B je teda Lož a A je Múdrosť.
Traja turisti sa hádajú, ktorým smerom majú ísť. Hans hovorí, že Emanuel klame. Emanuel tvrdí, že Hans a Philip hovoria stále rovnako, len nevie, či pravdu alebo klamstvá.
Kto z nich určite klame?
Tento príklad nemá jednoznačné riešenie. Jediný, kto určite klame (aj keď vôbec nič nepovedal), je Philip. Hans asi hovorí pravdu a Emanuel klame. Môže to byť i naopak, ale pretože sa Hans vyjadruje o Emanuelovi skôr než on, potom je asi Emanuelova poznámka, že nevie, či Hans klame, nepravdivá.
Predstavte si, že sú pred vami 3 mince. Zlatá, strieborná a medená. Ak poviete pravdivý výrok, dostanete jednu mincu, nikto však nestanovil ktorú. Ak poviete nepravdivý výrok, nedostanete nič.
Ktorý výrok vám zaručí zisk zlatej mince?
"Nedáte mi ani medenú mincu, ani striebornú mincu." Ak je to výrok pravdivý, potom musím dostať zlatú mincu. Ak by bol výrok nepravdivý, potom musí platiť jeho negácia. Teda "Dáte mi medenú alebo striebornú mincu." To by však bolo v rozpore so zadaním, že nedostanem žiadnu mincu. Výrok teda nemôže byť nepravdivý.
A teraz niečo na odľahčenie. Jeden vychytralý mladý muž sa na schôdzke opýtal slečny:
"Poviem výrok. Ak bude pravdivý, dáte mi svoju fotografiu?"
"Áno," odpovedala slečna.
"A ak bude môj výrok nepravdivý, chcel by som, aby ste mi sľúbila, že mi nedáte svoju fotografiu. Urobíte to pre mňa?"
Slečna znovu súhlasila. Muž potom povedal taký výrok, že slečna si po chvíľke premýšľania uvedomila, že ak chce dodržať svoj sľub, bude musieť venovať nie fotku, ale bozk.
Akým výrokom by ste vy (v takejto situácii) získali od tejto slečny bozk?
Tu bolo nutné vymyslieť zložený výrok, tak, aby sa jedna jeho časť vzťahovala k sľúbenej (či nesľúbenej) fotografii a jeho druhá časť k pobozkaniu. Celková pravdivosť či nepravdivosť zloženého výroku by potom mala byť v spore so sľubom o fotografii a zbytok by mal nútiť k bozku. Stačí teda povedať napríklad toto: "Nedáte mi ani fotku ani bozk."
